topic Re: PDE, Moscow, 1950 in Mathcad

PDE, Old newsreel math equations, 1950

ValeryOchkov — Tue, 30 May 2023 13:36:47 GMT

I was looking through an old newsreel and saw such a frame: a university teacher gives a task to a student.
Mathcad cannot solve this equation. And can you?

Re: PDE, Moscow, 1950

ValeryOchkov — Sun, 09 Jun 2019 15:00:17 GMT

One Mathcad Prime solution

Re: PDE, Moscow, 1950

LucMeekes — Sun, 09 Jun 2019 17:55:29 GMT

Simple, the answer is:

U(x,t)=phi(x)+t*psi(x).

Luc

Re: PDE, Moscow, 1950

-MFra- — Mon, 10 Jun 2019 13:19:23 GMT

Hi,

I have long solved the equation given with pdesolve, what do you think?

Re: PDE, Moscow, 1950

LouP — Mon, 10 Jun 2019 11:46:52 GMT

Just to avoid typing Greek letters, let u(x,0)=p(x), u_t(x,0) = q(x).

The proposed solution u(x,t)=p(x)+t·q(x) doesn't check, since u_tt(x,t) ≡ 0, while u_xx(x,t) = p’’(x)+t·q’’(x).

The equation u_tt = u_xxis the wave equation with velocity 1, so its general solution is u(x,t) = af(x+t) + bg(x-t) for arbitrary functions f and g, and constants a, b.

Add the initial conditions:

p(x) = u(x,0) = af(x) + bg(x), (1)

q(x) = u_t(x,0) = af’(x) - bg’(x). (2)

Derivative of (1): p’(x) = af’(x) + bg’(x). solve with (2) to get

af’(x) = (1/2) [p’(x) + q(x)],

bg’(x) = (1/2) [p’(x) - q(x)].

Let h(x) be the integral of q(x). so that h’(x) = q(x). Then

af(x) = (1/2) [p(x) + h(x)],

bg(x) = (1/2) [p(x) - h(x)].

Then

u(x,t) = af(x+t) + bg(x-t) = (1/2) [p(x+t) + h(x+t) + p(x-t) - h(x-t)], where h'(x) = q(x).

Check:

u(x,0) = (1/2) [p(x) + h(x) + p(x) - h(x)] = p(x).

u_t(x,t) = (1/2) [p’(x+t) + h’(x+t) – p’(x-t) + h’(x-t)],

u_t(x,0) = (1/2) [p’(x) + h’(x) – p’(x) + h’(x)] = h’(x) = q(x).

Lou

Re: PDE, Moscow, 1950

LucMeekes — Mon, 10 Jun 2019 12:16:22 GMT

You're right Lou.

When substituting my U(x,t) into the PDE it didn't match. I should have done that before I answered (too quickly).

Your derivation is superb!

Luc

Re: PDE, Moscow, 1950

ValeryOchkov — Tue, 11 Jun 2019 04:26:13 GMT

Thanks!

I would like to insert this text in new editions of my Russian and English book.

Can you translate it into English and/or add something?

Задача о температурном поле плоской пластины, рассмотренная выше, была размещена на сайте пользователей Mathcad по адресу https://community.ptc.com/t5/PTC-Mathcad/PDE-Moscow-1950/m-p/613472 с просьбой найти аналитическое решение. У нас, как известно, решение было численное. Два посетителя сайта с сетевыми псевдонимами LucMeekes и LouP сделали попытку найти функцию двух аргументов, заложенную в уравнение, показанное на рис. 18.10. Предлагаем читателям оценить данное решение.

Ремарка. В настоящее время размещение задач на специализированных сайтах Интернета стало одним из способов их решения. У человека нет способности или времени решить возникшую производственную (но не учебную!) задачу, он «вывешивает ее на сайте и ждет, когда кто-либо решит задачу или покажет пути ее решения. С учебными задачами тоже можно так поступать, но с особыми оговорками в том плане, что я, мол, получил задание от преподавателя, а преподаватель сам не знает, как приступить к решению, или у него нет времени заниматься мною… Интернет-технологии сейчас широко используются в образовательном процессе.

Re: PDE, Moscow, 1950

ValeryOchkov — Tue, 11 Jun 2019 18:57:41 GMT

One numerical solution

Re: PDE, Moscow, 1950

ValeryOchkov — Sun, 28 May 2023 19:39:22 GMT

And what about the boundary conditions?

See in SMath

Cannot plot T(x, y) (smath.com)